¿CÓMO SE DESPEJA -X?

Resolviendo...:

3 - x = 11

-x = 11 - 3

-x = 8

-Ya está!...(?)   (dudando...)

-No, no está.

-...

-Ahí no dice cuánto vale x. Ahí dice cuánto vale -x. Pero hay que hallar el valor de x, no el de -x. La x "tiene que quedar sola", sin el signo menos. La x hay que despejarla totalmente, tiene que quedar:

x = "algún número"

-¿Y qué hago para sacar "el menos de la x"?:


1) BUSCANDO EL OPUESTO:

-Lo podés hacer de varias maneras, pero la más rápida es así:

-x = 8

x = -8

-Ah! Le saco el menos a la x y se lo pongo al número...

-Hum!... algo así... Te podés acordar pensando así en otro ejemplo similar a ése, pero mejor te explico qué estamos aplicando al hacer esos pasos. Si lo siguiente te marea no te preocupes: hay otras maneras de hacerlo que después te muestro. Pero ahora te voy a justificar ese paso:

-x = 8      significa     "el opuesto de x es 8"

Así que recordemos un poco sobre los números opuestos:

El opuesto de un número es un número del mismo valor pero con el signo contrario. Por ejemplo:

El opuesto de 5 es -5. Y el opuesto de -5 es 5. Los números 5 y -5 son "opuestos"

El opuesto de -4 es 4. Y el opuesto de 4 es -4. Los números -4 y 4 son "opuestos"

Y el opuesto de un número desconocido "x" es: "-x". Y el opuesto de -x es: x. Los números x y -x son opuestos

Para encontrar el opuesto de un número, se le puede "poner el signo menos
adelante". El signo menos delante de un número significa "el opuesto de este número". Por ejemplo:

Si el número es 6, el opuesto es -6
Si el número es +6, el opuesto es -(+6), que es igual a -6
Si el número es -6, el opuesto es -(-6), que es igual a +6, que es igual a 6

Ya sea el número positivo o negativo, se puede hallar su opuesto poniéndole el signo menos adelante. Así que:

-x es el opuesto de x


VOLVAMOS A LA ECUACIÓN:

-x = 8

Esa ecuación "dice":

"El opuesto de x es 8"

Entonces para resolverla hay que buscar el número x que tiene como opuesto a 8.

Así que podemos leer esa ecuación como:

"Hallar el número que tiene por opuesto al 8"

¿Y qué número tiene como opuesto al 8?: El -8. Porque 8 y -8 son opuestos.

Solución: el -8. Por eso:

x = -8


LA PROPIEDAD QUE USAMOS:

Así que:

"Si el opuesto de x es igual a 8, entonces x es igual a -8":

-x = 8       entonces       x = -8

La propiedad que usamos para hacer ese paso es, en general (para cualquier
número):

Si x = a,        entonces     -x = -a

Y también vale al revés (la "recíproca"):

Si -x = -a,     entonces       x = a


OTRO EJEMPLO:

¿Y qué pasa si el número del segundo miembro es negativo? Por ejemplo:

-x = -10

x = 10

-Uy! Pero ahí no puedo usar eso de que "paso el menos para el otro lado"...

-Pero... Y lo que te dije sobre el "opuesto"...?!:

"Si el opuesto de x es -10, entonces x es 10". Ya que el número que tiene como opuesto a -10 es el número 10"... 

 No te convence, ¿no?

-Es que el opuesto me marea. Además yo nunca ví nada sobre el opuesto ni las propiedades...

-Bueno, entonces en vez de pensar: "paso el menos para el otro lado", por qué no lo hacés pensando así: "le cambio el signo a la x y le cambio el signo al número". Eso es fácil de recordar y vale para el número positivo o negativo: le cambiás el signo a los dos y listo.

Y otra cosa: en realidad en ese ejemplo sí funciona también lo de "paso el menos para el otro lado" (el "menos" de la x). Porque fijáte lo que pasa si "pasás el menos para el otro lado":

-x = -10

x = -(-10)

x = 10

-La verdad que eso del opuesto me marea. Y puedo recordar eso de cambiarle los signos a los dos, pero mejor me gustaría hacerlo de otra forma en la que yo pudiera justificarme entendiendo por qué hago lo que hago.


2) PASANDO LA X AL OTRO MIEMBRO:

 -Bueno, te mostré primero esa manera porque es la más rápida. Aunque la explicación era complicada. A ver qué te parece ésta:

-x = 8

-8 = x

-??????

-Lo que hice fue pasar ambos términos al miembro contrario. Como la x estaba restando (negativa), la pasé sumando. Como el 8 estaba sumando (positivo), lo pasé restando. Eso te es más familiar ¿no?: "Lo que está sumando pasa restando, lo que está restando pasa sumando..."

-SI!!!!!

-Como la x estaba restando (era negativa) y éso era lo que nos molestaba, la pasé al otro miembro, y entonces así ya no está más negativa, porque "pasa sumando". Luego, pasé el 8 porque la x tiene que quedar sola ya que la tenemos que despejar. Lo más rápido es hacerlo así en dos pasos, pero acá te muestro todos los pasos:

-x = 8

0 = 8 + x

0 - 8 = x

-8 = x

-Lo podés pensar así: "Cuando la x me queda negativa, la paso al otro lado para que me quede positiva"...

-Pero la x me queda del otro lado...

-¿Y eso no te gusta?

-No


3) EL 1 INVISIBLE:

 -Bueno, entonces la podés hacer pensando que "delante de la x hay un 1"...

-SI!!!

-Pero como es -x hay un -1. Y el -1 está multiplicando, entonces "pasa dividiendo":

-x = 8

-Yo lo hago!!!

-1.x = 8

x = 8:(-1)         (Calculadora...)

x = -8

-Ya está! De esta forma lo entiendo mejor...

-YA ME LO IMAGINABA...

Bueno, pero aclaremos que podemos pensar que "delante de la x hay un 1" porque x es igual a 1.x, ya que el 1 es neutro en la multiplicación y...

-Se se se... ya entendí


4) MULTIPLICANDO POR -1 A AMBOS MIEMBROS:

 Otra forma de hacerlo es aplicando la Propiedad Uniforme de la multiplicación. Ésta dice que podemos multiplicar a los dos miembros por el mismo número, porque la igualdad se mantiene. Y como queremos que la x quede positiva, multiplicamos por -1, ya que al multiplicar por -1 va a cambiar el signo de la x:

-x = 8

(-x).(-1) = 8.(-1)

x = -8

Propiedad Uniforme: Si a = b, entonces a.c = b.c    (para c ≠ 0)

-¿Y cómo sabés que si multiplicás por -1 le cambia el signo...????

-Es que cuando multiplicás un número por -1 te dá un número con el mismo valor pero con el signo contrario ¿no te habías dado cuenta de eso?

-No. Pará ¿A ver...?

(Silencio. Está haciendo unas cuentas en la calculadora:

5.(-1) = -5

-2.(-1) = 2 )

-Es verdad!

-Por eso (-x).(-1) = x. Cuando multiplicás un número por -1, el resultado es el
"opuesto" del número. A partir de ahora te podés acordar: cuando tengas que
multiplicar por -1, el resultado es el mismo núm...

-Se se se... el que sigue

CÓMO DESPEJAR LA "X AL CUADRADO"

Hoy empiezo este blog como un anexo al sitio web Matematica y Listo. La idea es, en un principio, exponer y resolver aquí las dudas triviales que más frecuentemente me presentan mis alumnos en clase; porque supongo que puede servir de material de consulta para otros estudiantes que tengan las mismas dudas. Después quizás se plantearán otras dudas con los comentarios de los lectores, que responderé por supuesto.

Resolver la siguiente ecuación:

x² = 4


-¿"Paso el cuadrado como raíz cuadrada"?

-Hum! Sí... ¿A ver?

x = √4

x = 2

-¿Está bien?

-NO. Está incompleto. Ésa es una posible solución de la ecuación. Pero hay otra solución. Y hay que encontrar todas las soluciones de la ecuación.

Pero si me enseñaron así...

Sí, en la primaria, en "octavo", en "noveno", en los primeros años de secundaria, cuando todavía no habías visto el tema "ecuaciones cuadráticas", te permitían hacer eso. Pero ya viste ecuaciones cuadráticas, así que ahora hay que encontrar las dos soluciones de esa ecuación. ¿Te acordás que cuando usás la fórmula resolvente ("a/b/c") la mayoría de las veces te dá dos soluciones: x₁ y x₂? Bueno, esta ecuación es un caso particular al que le falta el término con "la x sola" (ecuación incompleta); pero si le aplicaras la fórmula resolvente (usando "b = 0"), obtendrías dos resultados, por ese "más/menos" (±) que tiene la fórmula resolvente. ( x_1,2= )
-¿Y cómo la despejo entonces?

Bueno, pero primero te muestro por qué hay dos soluciones para esa ecuación. Recordemos que encontrar la/las soluciones de una ecuación es encontrar el/los números que cumplen con la igualdad. Veamos que x = 2 la cumple:

x² = 4

2² = 4

4 = 4

Es verdad: puse el 2 en el lugar de la x, hice las cuentas y dió 4. Entonces
x = 2 es solución de esa ecuación. Pero hay otro número que cumple con eso. Hay otro número que puedo poner en el lugar de la x y dá 4. Ese número es
x = -2. Porque ¿te acordás que si a un número negativo lo elevo al cuadrado, también dá positivo?.

-AH!!!

(-2)² = 4

4 = 4

Entonces x = -2 también es solución de esa ecuación. La solución completa es:

x₁ = 2

x₂ = -2

-¿Pero lo tengo que hacer mentalmente? Y otra cosa: ¿y si la raiz no dá exacta?

No. Hay varias formas de expresar ese "despeje" para que queden dos soluciones (una positiva y una negativa, con el mismo valor).

¿ CÓMO SE DESPEJA LA X² ?

1) Algunos permiten usar el signo ± ("más/menos", como el de la fórmula resolvente):


x² = 4

x = ± √4

x = ± 2




2) Pero esa forma de expresar la solución es criticada por algunos, porque "x no puede ser simultáneamente igual a dos números". Entonces, otros lo expresan así:

x² = 4 


x = √4     ó     x = -√4


x = 2       ó     x = -2




3) Por último, si ya aprendiste sobre el "módulo", la mejor manera de despejar es usando módulo. En el momento en que pasás el cuadrado, a la x le ponés el módulo:

x² = 4

|x| = √4

|x| = 2

x = 2    ó     x = -2


Porque si el módulo de un número es 2, es porque el número es 2 ó -2, ya que:

|2| = 2     y    también

|-2| = 2

(Módulo es el "valor absoluto" del número, "el número sin el signo")

¿Y si la raiz no dá exacta?

Bueno, dejás la raiz sin resolver, y te queda la raiz positiva y negativa. Por ejemplo:

x² = 5

x =√5     ó     x = -√5

Pero: ¡Ojo! ¡No queda la raiz de un número negativo!. El valor de número es √5 (número irracional, que equivale a 2,236067977... y no lo puedo escribir todo porque sus cifras decimales siguen hasta el infinito). Y las soluciones son: ese valor positivo (√5), y ese valor negativo (-√5, el "opuesto" de √5). √-5 no tiene ese valor, ya que √-5 no es un número Real (las raíces cuadradas de números negativos no son números Reales). Tratá de resolverlo en la calculadora y verás que te dá error. Además, √-5 no es solución de la ecuación.

Probemos que es verdad que √5 y -√5 son soluciones de la ecuación:

(√5)² = 5

     5 = 5

(-√5)² = 5

       5 = 5    (Porque un número negativo, elevado al cuadrado, dá positivo)

Y si te quedan dudas, podemos hacer así:

(-√5)² = (-√5).(-√5) = √25 = 5
(En una multiplicación, "menos por menos = más")
Y probemos también que √-5 no es solución de la ecuación (para los que conocen los números Complejos):

(√-5)² = √5i.√5i = √25i² = 5.(-1) = -5

(es decir: no dá 5, dá -5 entonces no es solución de la ecuación)

CON LA FÓRMULA RESOLVENTE

Y ahora resolvamos la primera ecuación usando la fórmula resolvente, así vemos cómo dá igual:

x² = 4

La completo y ordeno para que quede de la forma ax² + bx + c = 0:

x² + 0x - 4 = 0

a = 1
b = 0
c = -4

x_1,2 = =

x_1,2 =

x₁ = 2

x₂ = -2

UNA FORMA DE RESOLVER ESA ECUACIÓN SIN PASAR EL CUADRADO

Estas ecuaciones cuadráticas incompletas que no tienen el término con x, se pueden resolver aplicando "Diferencia de cuadrados" (Quinto caso de factoreo):

x² = 4

x² - 4 = 0

(x + 2).(x - 2) = 0

Y un producto (multiplicación) es igual a cero cuando alguno de los factores es igual a cero, así que:

x + 2 = 0            ó         x - 2 = 0

      x = -2           ó              x = 2

Y si la raiz no dá exacta:

x² = 5

x² - 5 = 0

(x + √5).(x - √5) = 0

x + √5 = 0         ó             x - √5 = 0


    x = -√5         ó                x = √5

MATEMATICA Y LISTO - EJERCICIOS RESUELTOS Y EXPLICADOS PASO POR PASO - POLINOMIOS, FACTOREO, EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES, Y OTROS TEMAS