lunes, 29 de agosto de 2011

CÓMO DESPEJAR LA "X AL CUADRADO"

Hoy empiezo este blog como un anexo al sitio web Matematica y Listo. La idea es, en un principio, exponer y resolver aquí las dudas triviales que más frecuentemente me presentan mis alumnos en clase; porque supongo que puede servir de material de consulta para otros estudiantes que tengan las mismas dudas. Después quizás se plantearán otras dudas con los comentarios de los lectores, que responderé por supuesto.

Resolver la siguiente ecuación:

x2 = 4



-¿"Paso el cuadrado como raíz cuadrada"?

-Hum! Sí... ¿A ver?

x = √4

x = 2

-¿Está bien?

-NO. Está incompleto. Ésa es una posible solución de la ecuación. Pero hay otra solución. Y hay que encontrar todas las soluciones de la ecuación.

Pero si me enseñaron así...

Sí, en la primaria, en "octavo", en "noveno", en los primeros años de secundaria, cuando todavía no habías visto el tema "ecuaciones cuadráticas", te permitían hacer eso. Pero ya viste ecuaciones cuadráticas, así que ahora hay que encontrar las dos soluciones de esa ecuación. ¿Te acordás que cuando usás la fórmula resolvente ("a/b/c") la mayoría de las veces te dá dos soluciones: x1 y x2? Bueno, esta ecuación es un caso particular al que le falta el término con "la x sola" (ecuación incompleta); pero si le aplicaras la fórmula resolvente (usando "b = 0"), obtendrías dos resultados, por ese "más/menos" (±) que tiene la fórmula resolvente. ( x1,2= )
-¿Y cómo la despejo entonces?


Bueno, pero primero te muestro por qué hay dos soluciones para esa ecuación. Recordemos que encontrar la/las soluciones de una ecuación es encontrar el/los números que cumplen con la igualdad. Veamos que x = 2 la cumple:

x2 = 4

22 = 4

4 = 4

Es verdad: puse el 2 en el lugar de la x, hice las cuentas y dió 4. Entonces
x = 2 es solución de esa ecuación. Pero hay otro número que cumple con eso. Hay otro número que puedo poner en el lugar de la x y dá 4. Ese número es
x = -2. Porque ¿te acordás que si a un número negativo lo elevo al cuadrado, también dá positivo?.

-AH!!!

(-2)2 = 4

4 = 4

Entonces x = -2 también es solución de esa ecuación. La solución completa es:

x1 = 2

x2 = -2


-¿Pero lo tengo que hacer mentalmente? Y otra cosa: ¿y si la raiz no dá exacta?

No. Hay varias formas de expresar ese "despeje" para que queden dos soluciones (una positiva y una negativa, con el mismo valor).

¿ CÓMO SE DESPEJA LA X?

1) Algunos permiten usar el signo ± ("más/menos", como el de la fórmula resolvente):


x2 = 4

x = ± √4

x = ± 2




2) Pero esa forma de expresar la solución es criticada por algunos, porque "x no puede ser simultáneamente igual a dos números". Entonces, otros lo expresan así:




x2 = 4 


x = √4     ó     x = -√4


x = 2       ó     x = -2





3) Por último, si ya aprendiste sobre el "módulo", la mejor manera de despejar es usando módulo. En el momento en que pasás el cuadrado, a la x le ponés el módulo:

x2 = 4

|x| = √4

|x| = 2

x = 2    ó     x = -2



Porque si el módulo de un número es 2, es porque el número es 2 ó -2, ya que:

|2| = 2     y    también

|-2| = 2

(Módulo es el "valor absoluto" del número, "el número sin el signo")

¿Y si la raiz no dá exacta?

Bueno, dejás la raiz sin resolver, y te queda la raiz positiva y negativa. Por ejemplo:

x2 = 5

x =√5     ó     x = -√5

Pero: ¡Ojo! ¡No queda la raiz de un número negativo!. El valor de número es √5 (número irracional, que equivale a 2,236067977... y no lo puedo escribir todo porque sus cifras decimales siguen hasta el infinito). Y las soluciones son: ese valor positivo (√5), y ese valor negativo (-√5, el "opuesto" de √5). √-5 no tiene ese valor, ya que √-5 no es un número Real (las raíces cuadradas de números negativos no son números Reales). Tratá de resolverlo en la calculadora y verás que te dá error. Además, √-5 no es solución de la ecuación.

Probemos que es verdad que √5 y -√5 son soluciones de la ecuación:

(√5)2 = 5

     5 = 5

(-√5)2 = 5

       5 = 5    (Porque un número negativo, elevado al cuadrado, dá positivo)

Y si te quedan dudas, podemos hacer así:

(-√5)2 = (-√5).(-√5) = √25 = 5
(En una multiplicación, "menos por menos = más")
Y probemos también que √-5 no es solución de la ecuación (para los que conocen los números Complejos):

(√-5)2 = √5i.√5i = √25i2 = 5.(-1) = -5

(es decir: no dá 5, dá -5 entonces no es solución de la ecuación)

CON LA FÓRMULA RESOLVENTE

Y ahora resolvamos la primera ecuación usando la fórmula resolvente, así vemos cómo dá igual:

x2 = 4

La completo y ordeno para que quede de la forma ax2 + bx + c = 0:

x2 + 0x - 4 = 0

a = 1
b = 0
c = -4

x1,2 = =

x1,2 =

x1 = 2

x2 = -2


UNA FORMA DE RESOLVER ESA ECUACIÓN SIN PASAR EL CUADRADO

Estas ecuaciones cuadráticas incompletas que no tienen el término con x, se pueden resolver aplicando "Diferencia de cuadrados" (Quinto caso de factoreo):

x2 = 4

x2 - 4 = 0

(x + 2).(x - 2) = 0

Y un producto (multiplicación) es igual a cero cuando alguno de los factores es igual a cero, así que:

x + 2 = 0            ó         x - 2 = 0

      x = -2           ó              x = 2

Y si la raiz no dá exacta:

x2 = 5

x2 - 5 = 0

(x + √5).(x - √5) = 0

x + √5 = 0         ó             x - √5 = 0


    x = -√5         ó                x = √5

MATEMATICA Y LISTO - EJERCICIOS RESUELTOS Y EXPLICADOS PASO POR PASO - POLINOMIOS, FACTOREO, EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES, Y OTROS TEMAS

11 comentarios:

  1. Muy buena la explicacion, imposible no entender. Muchas gracias por compartirlo.

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  2. Te agradezco el comentario Marian. Hace un par de días volvió a surgir la misma duda en clase, es un clásico. Pronto vendrán más entradas. Saludos.

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  3. hola queria saber:
    1)¿el polinomio nulo tiene raices?

    2)indicar las racies del polimio y el grado de multiplicidad del polinomio P(X)= (x^5 - x^2)(x - i)^2(x^14 + 2i)(x^13 - 4x^12 - 6ix^11 + 3x^10)

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  4. como se factoriza (c5+24c+135)

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  5. QUIERO DECIRTE QUE ES GENIAL LO QUE HACES! GRACIAS POR ESTE VALIOSO APORTE PARA AQUELLOS QUE NOS CUESTA (POR LO MENOS A MI HORRORES) UN POCO ....

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  6. Hola necesito ayuda por favor. Tengo la funcion r(x)= - x^2+4x-5. Me piden restringir su dominio para que sea biyectiva, hallar la inversa y gráficas ambas en ejes cartesianos. Gracias si pueden contestarme!

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  7. HOLA UN FAVOR QUISIERA SABER UN PROBLEMA DE CONJUNTOS:
    en un mercado fueron encuestados 50 señores sobre el consumo de pollo,pescado y carne de res;con el siguiente resultado;40 consumen pollo ,26 consumen pescado y 45 consumen carne de res;ademas 8 señores afirman que consumen los 3 tipos de carne ¿cuantos señores consumen solo 2 tipos de carne?

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  8. nesecito que de esta ecuacion quede este resultado
    x=2

    3.(x-2)-6=x+2.x

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  9. Buenas tardes. Veo que este blog parece inactivo desde hace bastante, pero por las dudas consulto igual. Estuve haciendo los ejercicios de Suma y Resta de Expresiones Algebraicas Racionales. En el ejemplo 10, el numerador queda asi: x+5+4x^2. Y en la explicación dice que no se puede seguir factorizando. Pero, ¿eso no es una ecuación cuadrática desordenada? Yo apliqué la formula y me quedó: 4(x-1)(x+5/2). Desde ya gracias si alguien responde, y gracias por la página, es muy útil a todos los que necesitamos una ayuda en matemática :)

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